Σάββατο, 10 Οκτωβρίου 2015

Όταν ο Γάλλος μαθηματικός Cauchy έκανε παγκόσμια σύμβολα το «δ» και το «ε»

Augustin-Louis_Cauchy

Τα δύο αυτά γράμματα, από το 1821 και την συγγραφή του «Course d’ Analyse» από τον Augustin Louis Cauchy, 1789 – 1857  έγιναν, μετά το «π», ίσως τα πιο δημοφιλή ελληνικά σύμβολα στους κύκλους των μαθηματικών. Αυτό διότι από τότε και έπειτα έγιναν αναπόσπαστο μέρος ενός εκ των βασικότερων μαθηματικών ορισμών. Αυτόν του ορίου.
«Για κάθε ε>0 υπάρχει ένα δ>0 έτσι ώστε αν |x – x’| < δ , τότε |f(x) – b| < ε» λέει ένα μέρος της πρότασης που αποτελεί τον θεμέλιο λίθο της μαθηματικής ανάλυσης, και ως εκ τούτου, σύσσωμης της μαθηματικής επιστήμης. Αυτή η πρόταση έχει μεταφραστεί σε κάθε γλώσσα που ομιλείται στον πλανήτη, με τα μόνα στοιχεία που παραμένουν σταθερά να είναι τα δύο ελληνικά γράμματα.
Τι ακριβώς εξηγεί ο ορισμός του ορίου – Ενα «εργαλείο» για όλους τους επιστήμονες
Στην σύγχρονη επιστήμη, τα όρια αποτελούν απαραίτητο εργαλείο για την έρευνα οποιουδήποτε αντικειμένου. Ενα όριο, αποτελεί ουσιαστικά την μελέτη της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης, όταν αυτή φτάνει απείρως κοντά σε ένα συγκεκριμένο σημείο, χωρίς όμως να το «αγγίζει».
Ο ορισμός του ορίου λοιπόν εξηγεί πως όσο οι τιμές πλησιάζουν προς το σημείο που επιθυμούμε να μελετήσουμε, τόσο και η τιμή της συνάρτησης θα συγκλίνει προς έναν αριθμό b. Δηλαδή στο όριο της συνάρτησης, στο συγκεκριμένο σημείο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = 2x όταν το x πλησιάζει στον αριθμό 3, κατευθύνεται ολοένα και πιο κοντά στον αριθμό 6. Το εντυπωσιακό είναι πως για τα «ε» και «δ» δεν υπάρχει… περιορισμός μεγέθους. Μπορούν να είναι οσοδήποτε μικρά θέλουν, μόνο που το «δ» εξαρτάται από την τιμή του «ε».
Η ευρύτερη χρήση των ορίων αποτελεί απαραίτητη και θεμελιώδη γνώση κάθε επιστήμονα, ακόμα και αν αυτός δεν σχετίζεται πλήρως με τα μαθηματικά. Αυτό διότι η μελέτη «οριακών» καταστάσεων είναι πολύ χρήσιμη σε πάρα πολλούς τομείς πέραν των μαθηματικών, αλλά επιτυγχάνεται μόνο μέσω των μαθηματικών.
Γιατί ο Cauchy επέλεξε το «δ» και το «ε»;
Ο ορισμός του ορίου που έδωσε ο Cauchy αποτελεί αφορμή για μια από τις πολλές διαμάχες που έχουν οι ιστορικοί των μαθηματικών. Πολλοί εξ αυτών υποστηρίζουν πως αυτός που διατύπωσε πρώτος τον ορισμό δεν ήταν ο Γάλλος μαθηματικός, αλλά ο Τσέχος συνάδερφος του, Bolzano.
Για την χρήση των γραμμάτων «ε» και «δ» ωστόσο δεν υπάρχει αμφιβολία. Αυτός που τα χρησιμοποίησε, δίνοντας το ορισμό έτσι όπως τον γνωρίζουμε σήμερα, ήταν ο Cauchy. Γιατί όμως ο σπουδαίος Γάλλος επιστήμονας δεν χρησιμοποίησε κάποιο από τα πρώτα τρία γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου;
Η απάντηση του ιστορικού Judith Grabiner που ασχολείται με μαθηματικά ζητήματα, είναι πως ο Cauchy αρχικά χρησιμοποίησε το γράμμα «ε» ώστε να συμβολίσει την λέξη «erreur» η οποία σε ακριβή μετάφραση σημαίνει «σφάλμα». Με αυτόν τον τρόπο ο Cauchy ήθελε να δείξει, κατά κάποιο τρόπο, το περιθώριο κίνησης που έχουν οι τιμές κατά την διαδικασία της προσέγγισης.
Οσο για το γράμμα «δ», δεν υπάρχει κάποια επιστημονικά τεκμηριωμένη εξήγηση της χρήσης του. Ωστόσο, εικάζεται πως ο Γάλλος μαθηματικός το χρησιμοποίησε για να συμβολίσει την έννοια της απόστασης, ή αλλιώς «distance» στα γαλλικά.